【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點
,
,且至少存在兩個零點,求
的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)先求得,分別討論
與
的情況,令
,則
或
,討論
與
及
的關(guān)系,進(jìn)而求解即可;
(2)由(1)可得當(dāng)時,
有兩個極值點
,
且至少存在兩個零點,可得極值點為
和
,則
可得
,由
,設(shè)
,進(jìn)而求解
的范圍即可
解:(1)由題,的定義域為
,
,
當(dāng)時,
,則當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
,所以
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,令
,得
或
,
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,即
時,所以
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
在
上恒成立,所以
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減
(2)由(1)知,因為有兩個極值點
,
,
所以或
,
因為,所以
不合題意;
因為時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
所以即
,
解得,
此時,
記,則
,
因為,所以
,所以
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
所以,解得
,
所以,的取值范圍為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓柱底面半徑為1,高為
,
是圓柱的一個軸截面,動點
從點
出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點
,其距離最短時在側(cè)面留下的曲線
如圖所示.將軸截面
繞著軸
逆時針旋轉(zhuǎn)
后,邊
與曲線
相交于點
.
(1)求曲線的長度;
(2)當(dāng)時,求點
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,且直線
與曲線
交于
、
兩點.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,點
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,
,
.已知
,
分別是
,
的中點.將
沿
折起,使
到
的位置且二面角
的大小是
.連接
,
,如圖:
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
為等邊三角形,邊長為2,
為等腰直角三角形,
,
,
,平面
平面ABCD.
(1)證明:平面PAD;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(3)棱PD上是否存在一點E,使得平面PBC?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲,乙,丙,丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或
作品獲得一等獎”; 乙說:“
作品獲得一等獎”;
丙說:“ 兩件作品未獲得一等獎”; 丁說:“是
作品獲得一等獎”.
評獎揭曉后,發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(
為自然對數(shù)的底)。
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在均屬于區(qū)間的
,
,且
,使
,證明:
;
(Ⅲ)對于函數(shù)與
定義域內(nèi)的任意實數(shù)
,若存在常數(shù)
,
,使得
和
都成立,則稱直線
為函數(shù)
與
的分界線。試探究當(dāng)
時,函數(shù)
與
是否存在“分界線”?若存在,請給予證明,并求出
,
的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù))的最大值為0.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)
時,求證:函數(shù)
有兩個不同的零點
,
(
),且
.
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