Question

【題目】已知函數(shù)（a為常數(shù)）的最大值為0.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），且.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，分與兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最大值，列出方程求解即可；(2)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再由一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，因?yàn)?/span>，，可得函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，即可得解.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>，

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值；

當(dāng)時(shí)，令，即，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

，易知函數(shù)與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，所以方程的解為；

（2）

當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

故.