已知
，
為其反函數(shù).
（Ⅰ）說明函數(shù)
與圖象的關系（只寫出結(jié)論即可）；
（Ⅱ）證明的圖象恒在的圖象的上方；
（Ⅲ）設直線
與、均相切，切點分別為（
）、（
），且
，求證：
.
(Ⅰ) 關于直線
對稱；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關于直線對稱；(Ⅱ)先求出反函數(shù)的解析式：
，引入中間函數(shù)
.先構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，求得函數(shù)的最小值是
，找到關系
；再構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，求得函數(shù)的最小值是
，找到關系
.從而證得“的圖象恒在的圖象的上方”；(Ⅲ)先求出
以及
，根據(jù)導數(shù)與切線方程的關系，由斜率不變得到
，再根據(jù)兩點間的斜率公式得到
.首先由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得
，那么
，然后由得到
，解得
.
試題解析：（Ⅰ）與的圖象關于直線對稱. 2分
（Ⅱ），設， 4分
令，
，
令
，解得
，
當
時
，當
時
；
∴當時，，
∴. 6分
令，
，
令，解得
；
當
時，，當
時，，
∴當時，，
∴
. 8分
∴的圖象恒在的圖象的上方. 9分
（Ⅲ），，切點的坐標分別為
，可得方程組：
11分
∵，
∴
，∴，
∴. 12分
由②得，
，∴
， 13分
∵，∴
，∴
，即，
∴. 14分
考點：1.反函數(shù)；2.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；3.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；4.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；5.利用導數(shù)研究曲線的切線方程
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果成人按規(guī)定劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量
與服藥后的時間
之間近似滿足如圖所示的曲線．其中
是線段，曲線段
是函數(shù)
是常數(shù)
的圖象．
(1)寫出服藥后每毫升血液中含藥量
關于時間
的函數(shù)關系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于
時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上
，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
(3)若按(2)中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過
，該病人每毫升血液中含藥量為多少
？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知
是偶函數(shù).
(1)求
的值；
(2)證明:對任意實數(shù)
,函數(shù)
的圖像與直線
最多只有一個交點；
(3)設
若函數(shù)
的圖像有且只有一個公共點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
對于函數(shù)
若存在
,使得
成立,則稱
為的不動點.
已知
(1)當
時,求函數(shù)
的不動點;
(2)若對任意實數(shù)
,函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若
圖象上
、
兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點,且、兩點關于直線
對稱,求的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知
，且兩函數(shù)定義域均為
，
（1）．畫函數(shù)
在定義域內(nèi)的圖像，并求值域；（5分）
（2）．求函數(shù)
的值域．（5分）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量
（單位：千克）與銷售價格
（單位：元/千克）滿足關系式
，其中
，
為常數(shù)，已知銷售價格為4元/千克時，每日可銷售出該商品5千克；銷售價格為4.5元/千克時，每日可銷售出該商品2.35千克.
（1）求
的解析式；
（2）若該商品的成本為2元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
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時，求函數(shù)
在
的值域；
的方程
有解，求
的取值范圍.
(a是常數(shù)，a∈R)
的解集；
恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．