Question

【題目】在四棱錐中，為梯形，，，，，，.

（1）在線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足且平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）已知與的交點(diǎn)為，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）通過(guò)線面平行，得到線線平行，從而得到；

（2）先利用面面垂直得出線面垂直，建立坐標(biāo)系，利用向量求出二面角.

（1）延長(zhǎng)、交于點(diǎn).連接，如圖，

，平面，平面 平面,

.

在梯形中，，，所以,所以,即.

（2）在梯形中,

所以,即.所以.

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>所以 ，所以，

由勾股定理.

又因?yàn)?/span>.，同理.

又因?yàn)?/span>.且平面平面 ，所以 平面.

從而直線PM，直線，直線相互垂直，

以為原點(diǎn)，分別以，,所在直線分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

易得，，

設(shè)平面的法向量為，易得，

從而解得，，

令可得.易知平面的法向量為

則，

所以二面角平面角的余弦值為.