Question

若在由正整數(shù)構(gòu)成的無窮數(shù)列{a_n}中，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n≤a_n+1，且對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有2k-1個(gè)k，則a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有2k-1個(gè)k，可知數(shù)列為：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…
假設(shè)a₂₀₁₄在第n+1組中，由等差數(shù)列的求和公式求出前n組的和，解不等式n²＜2014，得到n值后加1得答案．

解答： 解：∵對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有2k-1個(gè)k，
∴數(shù)列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，…
設(shè)a₂₀₁₄在第n+1組中，則
1+3+5+…+（2n-1）=n²＜2014，解得：n＜45．
∴a₂₀₁₄在第45組中，
故a₂₀₁₄=45
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．