Question

已知集合M={（x，y）丨y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁y₁+x₂y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列五個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）丨y=

1

x

}；
②M={（x，y）丨y=（x-1）²}；
③M={（x，y）丨y=sinx+1}；
④M={（x，y）丨y=log₃x}；
⑤M={（x，y）丨y=e^x-2}．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的所有序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：新定義,集合

分析：對(duì)于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對(duì)于②，畫出圖象，說(shuō)明滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于③，畫出函數(shù)圖象，說(shuō)明滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于④，畫出函數(shù)圖象，取一個(gè)特殊點(diǎn)即能說(shuō)明不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”定義；
對(duì)于⑤，畫圖分析得到該集合滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的概念．

解答： 解：對(duì)于①：函數(shù)y=

1

x

表示它是以軸，軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角為90°，
故在同一支上不存在對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁y₁+x₂y₂=0成立，
所以，該集合不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于②，函數(shù)y=（x-1）²圖象如下圖所示：

通過(guò)圖象，如圖所示，存在（0，1）與（1，0）符合題意，
所以，該集合滿足滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的概念，故②為正確的；
對(duì)于③：函數(shù)y=sinx+1的圖象如下圖：

存在兩點(diǎn)（0，1）與（

3π

2

，0），滿足x₁y₁+x₂y₂=0成立，
對(duì)于④：函數(shù)y=log₃x的圖象如下：

無(wú)法找到兩點(diǎn)，滿足x₁y₁+x₂y₂=0成立，
對(duì)于⑤：函數(shù)y=e^x-2的圖象如下：

取（0，-1）和點(diǎn)（ln2，0），滿足滿足x₁y₁+x₂y₂=0成立，符合題意；
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于信息信息給予題，考查了常見函數(shù)的圖象，掌握基本的函數(shù)概念和圖象是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．