Question

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
（Ⅰ）若

AC

•

BC

=-1，求sin（α+

5π

4

）的值；
（Ⅱ）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求

OB

與

OC

的夾角；
（Ⅲ）求△ABC面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）表示出

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），由數(shù)量積運(yùn)算可求cosα+sinα=

2

3

，進(jìn)而得sin（α+

π

4

）=

2

3

，再由誘導(dǎo)公式可得答案；
（Ⅱ）由|

OA

+

OC

|=

13

，得（3+cosα）²+sin²α=13，于是得cosα=

1

2

，進(jìn)而求得α，由向量夾角公式可求；
（Ⅲ）易求直線AB的方程為x+y-3=0，|AB|=3

2

，由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線AB的距離d，進(jìn)而可得其范圍，由三角函數(shù)的有界性可求面積范圍；

解答： 解：（Ⅰ）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴

AC

•

BC

=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=

2

3

，∴sin（α+

π

4

）=

2

3

，
∴sin(α+

5π

4

)=-sin(x+

π

4

)=-

2

3

．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OC

|=

13

，∴（3+cosα）²+sin²α=13，
∴cosα=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

，sinα=

3

2

，∴C（

1

2

，

3

2

），
∴

OB

•

OC

=

3 3

2

，
設(shè)

OB

與

OC

的夾角為θ，則cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3 3 2

3

=

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

6

即為所求．
（Ⅲ）直線AB的方程為x+y-3=0，|AB|=3

2

，
點(diǎn)C到直線AB的距離d=

|cosα+sinα-3|

2

=

3- 2 sin(α+ π 4 )

2

，
∴

3- 2

2

≤d≤

3+ 2

2

，
S△ABC=

1

2

d|AB|=

3

2

d，∴

9-3 2

2

≤S≤

9+3 2

2

，
∴△ABC面積的最大值和最小值分別為

9-3 2

2

，和

9+3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換、點(diǎn)到直線距離公式、平面向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但都很基本，熟練掌握有關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．