Question

已知關于x的方程lnx=mx，x∈（0，a），若存在a，m，使此方程有兩個不同的實數(shù)解，則稱實數(shù)對（a，m）為此方程的“D-S-P”，則在（

1

2

，-

1

e

），（

e

，

1

3 e

），（2e，

2ln2

e

），（e²，

5

2e2

）中，“D-S-P”點有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：當l與C相切時，利用導數(shù)求得切點橫坐標為x₀=e，切線斜率為m=

1

e

，只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

為（a，lna）與原點連線的斜率）．

解答： 解：由題意，如圖所示，
當l與C相切時，利用導數(shù)求得切點橫坐標為x₀=e，切線斜率為m=

1

e

，
∴只要a＞e，

lna

a

＜m＜

1

e

即可（

lna

a

=

lna-0

a-0

為（a，lna）與原點連線的斜率）．
對于（

1

2

，-

1

e

），∵-

1

e

＜0，∴（

1

2

，-

1

e

）不是“D-S-P”點；
對于（

e

，

1

3 e

），∵

e

＜e，∴（

e

，

1

3 e

）不是“D-S-P”點；
對于（2e，

2ln2

e

），∵

2ln2

e

＞

1

e

，∴（2e，

2ln2

e

）不是“D-S-P”點；
對于（e²，

5

2e2

），∵e²＞e，

lna

a

=

2

e2

=

4

2e2

＜

5

2e2

＜

1

e

，∴（e²，

5

2e2

）是“D-S-P”點．
故選：A．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、含參數(shù)的存在性問題，考查新定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．