Question

己知拋物線的參數(shù)方程為

x=4t2 y=4t

（t為參數(shù)），焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l₁，直線l₂的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 m y= 3 2 m

（m為參數(shù)）．若直線l₂與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，是AM⊥l₁，垂足為M，則△AMF的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：把拋物線的參數(shù)方程、直線l₂的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出|AM|=|AF|的值，即可求出△AMF的面積．

解答： 解：拋物線的參數(shù)方程

x=4t2 y=4t

化為普通方程是y²=4x，
∴焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l₁：x=-1；
直線l₂的參數(shù)方程

x=1+ 1 2 m y= 3 2 m

化為普通方程是y=

3

（x-1），
該直線的傾斜角是

π

3

，且過焦點(diǎn)F；
∵直線l₂與拋物線在x軸上方交于點(diǎn)A，且AM⊥l₁，
如圖所示；
∴

y= 3 (x-1) y2=4x

，
解得

x=3 y=2 3

，或

x= 1 3 y= 2 3 3

，
∴點(diǎn)A（3，2

3

）；
∴|AM|=|AF|=

(3-1)2+(2 3 )2

=4，
∴S_△AMF=

1

2

|AM|•|AF|sin

π

3

=

1

2

×4×4×

3

2

=4

3

．
故答案為：4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)先把參數(shù)方程化為普通方程，再來解答問題，是中檔題．