Question

如圖，已知位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0，1）且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2，過點H（0，t）的直線l于圓C相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）當t=1時，求出直線l的方程；
（3）求直線OM的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（1）因為位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0，1），所以圓心C在直線y=1上，
設圓C與x軸的交點分別為A、B，
由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，得∠ACB=

2π

3

，
所以CA=CB=2，圓心C的坐標為（-2，1），
所以圓C的方程為：（x+2）²+（y-1）²=4．
（2）當t=1時，由題意知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=mx+1，
由

y=mx+1 (x+2)2+(y-1)2=4

得

x=0 y=1

或

x= -4 m2+1 y= m2-4m+1 m2+1

，
不妨令M(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)，N(0，1)，
因為以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過O（0，0），
所以

OM

•

ON

=(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)•(0，1)=m

m2-4m+1

m2+1

=0，
解得m=2±

3

，所以所求直線l方程為y=(2+

3

)x+1或y=(2-

3

)x+1．
（3）設直線MO的方程為y=kx，
由題意知，

|-2k-1|

1+k2

≤2，解之得k≤

3

4

，
同理得，-

1

k

≤

3

4

，解之得k≤-

4

3

或k＞0．由（2）知，k=0也滿足題意．
所以k的取值范圍是(-∞，-

4

3

]∪[0，

3

4

]．