Question

【題目】如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點(diǎn)D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】

（1）由可得，易證平面OAC，即可求得（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角計(jì)算公式求解即可.

（1）因?yàn)?/span>，，所以，

所以.

在圓錐AO中，AO與底面垂直，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以平面OAC，

因?yàn)?/span>平面OAC，

所以.

（2）由（1）可知0A，OC，OD兩兩垂直，以O為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

因?yàn)?/span>，，所以為二面角的平面角，

所以，從而可得.

所以，，.

設(shè)平面ACE的法向量為.

則.令，則.

設(shè)直線OC與平面ACE所成的角為，

則.