Question

【題目】已知雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，且其中一焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）將的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得，進(jìn)而得到雙曲線的方程；

（2）設(shè)，，直線的方程為，將代入中，整理得，根據(jù)可得的關(guān)系，從而將點(diǎn)到直線距離表示成關(guān)于的函數(shù)，再求最值。

（1）∵雙曲線過點(diǎn)，∴.

不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，則到漸近線的距離，

∴，，

∴所求雙曲線的方程為.

（2）設(shè)，，直線的方程為.

將代入中，整理得.

∴①，②，

∵，∴，

∴，

∴.③

將①②代入③，得，

∴.而，∴，

從而直線的方程為.

將代入中，

判別式恒成立，

∴即為所求直線，該直線過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取最大值.