Question

正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，則

1

m

+

4

n

最小值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₆=a₅+2a₄，知q=2，由存在兩項(xiàng)a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，知m+n=6，由此問(wèn)題得以解決

解答： 解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₆=a₅+2a₄，
∴a₄q²=a₅q+2a₄，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在a_m，a_n，使得

am•an

=4a₁，
即a_ma_n=16a₁²，
∴（a₁•2^m-1）•（a₁•2^n-1）=16a₁²，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）[

1

6

(m+n)]=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，
∴

1

m

+

4

n

最小值是

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意不等式也是高考的熱點(diǎn)，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，兩者都兼顧到了．