Question

若函數(shù)f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線l與f（x）的圖象交于B、C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

OB

+

OC

）•

OA

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)“f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的圖象與x軸交于點(diǎn)A”求出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知B，C 兩點(diǎn)關(guān)于A對(duì)稱即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0，代入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解

解答： 解：由f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）=0，可得

π

6

x+

π

3

=kπ，
∴x=6k-2，k∈Z
∵2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∵過點(diǎn)A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點(diǎn)
∴B，C 兩點(diǎn)關(guān)于A對(duì)稱即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0
∴（

OB

+

OC

）•

OA

=（x₁+x₂，y₁+y₂）•（4，0）=4（x₁+x₂）=32
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵正弦函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用．