Question

設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF₁|=3|F₁B|．
（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF₂的周長為16，求|AF₂|；
（Ⅱ）若cos∠AF₂B=

3

5

，求橢圓E的離心率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,三角形的面積公式

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF₂的周長為16，|AF₁|=3|F₁B|，結合橢圓的定義，即可求|AF₂|；
（Ⅱ）設|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF₂B=

3

5

，利用余弦定理，可得a=3k，從而△AF₁F₂是等腰直角三角形，即可求橢圓E的離心率．

解答： 解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF₁|=3|F₁B|，
∴|AF₁|=3，|F₁B|=1，
∵△ABF₂的周長為16，
∴4a=16，
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=8，
∴|AF₂|=5；
（Ⅱ）設|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=

3

5

，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-

6

5

（2a-3k）（2a-k），
化簡可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=

2

2

a，
∴e=

c

a

=

2

2

．

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的性質，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．