Question

若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+

2

sinB=2sinC，則cosC的最小值是

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：根據(jù)正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：由正弦定理得a+

2

b=2c，得c=

1

2

（a+

2

b），
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 1 4 (a+ 2 b)2

2ab

=

3 4 a2+ 1 2 b2- 2 2 ab

2ab

=

3 4 a2+ 1 2 b2

2ab

-

2

4

≥

2• 3 2 a• 2 2 b

2ab

-

2

4

=

6 - 2

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

2

a=

2

2

b時，取等號，
故

6 - 2

4

≤cosC＜1，故cosC的最小值是

6 - 2

4

．
故答案為：

6 - 2

4

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．