Question

如圖，已知、、為不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)的長(zhǎng).

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）通過(guò)證明平行四邊形分別證明和，利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面與平面平行的判定定理證明平面平面；（2）先證明平面，于是得到，由再由四邊形為正方形得到，最后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面；（3）將三棱柱
的側(cè)面沿著展開(kāi)，利用、、三點(diǎn)共線(xiàn)求出的最小值，并利用相似三角形求出的長(zhǎng)度.
試題解析：（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得為正方形，，
又，平面；
（3）將三棱柱的側(cè)面繞側(cè)棱旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面在同一平面內(nèi)如下圖示，連結(jié)交于點(diǎn)，則由平面幾何的知識(shí)知，這時(shí)取得最小值，
，.