Question

如圖，在三棱柱中，平面，，， ，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可根據(jù)中點(diǎn)證平行四邊形得線線平行，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得線面平行。（Ⅱ）由已知條件易得平面．由（Ⅰ）知∥，即平面。根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面。（Ⅲ）法一普通方法：可用等體積法求點(diǎn)到面的距離，再用線面角的定義找到線面角后求其正弦值。此法涉及到大量的計算，過程較繁瑣；法二空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系后先求面的法向量。與法向量所成角余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。
試題解析：證明：（Ⅰ）
取的中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，可知為中點(diǎn)，

連結(jié)，易知四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面．           4分
證明：（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032947392599.png" style="vertical-align:middle;" />，且是的中點(diǎn)，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032947454406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
所以平面．
又∥，所以平面．
又平面，
所以平面平面．          ９分
解：（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，, ，．
，，．
設(shè)平面的法向量為.
則
所以
令.則.
設(shè)向量與的夾角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.             14分