Question

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）連接,要證,只需證明面,只需證明, 由已知面面垂直，易證,所以,面,得到,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033924405571.png" style="vertical-align:middle;" />,易證,所以面,得,得證面，即證 ；（2）設(shè)由（1）法一：知，為等邊三角形，設(shè)，則，分別為，的中點(diǎn)，也是等邊三角形．取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，
所以為二面角的平面角，然后用余弦定理計(jì)算.法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用公式,根據(jù)實(shí)際圖形為鈍二面角.
試題解析：如圖：

（1）證明：連結(jié)，因，是的中點(diǎn)，
故．
又因平面平面，
故平面，            2分
于是．
又，
所以平面，
所以，                 4分
又因，
故平面，
所以．                 6分
（2）解法一：由（I），得．不妨設(shè)，．          7分
因為直線與平面所成的角，
故，
所以，為等邊三角形．                        9分
設(shè)，則，分別為，的中點(diǎn)，也是等邊三角形．
取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，
所以為二面角的平面角．                     12分
在中，，，                      13分
故，
即二面角的余弦值為．                            14分
解法二：取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，，則，，，，   8分
從而，.
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
可取．            10分
同理，可取平面的一個(gè)法向量為  
．                 12分
于是，   13分
易見二面角的平面角與互補(bǔ)，
所以二面角的余弦值為．                        14分