Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值.

（2）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ ）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進一步求出向量的坐標，再求出平面PCD的法向量，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅱ）假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得

，由此列式求得當時，M點即為所求．

詳解：(1)取AD的中點O，連接PO，CO.

因為PA＝PD，所以PO⊥AD.

又因為PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因為CO平面ABCD，所以PO⊥CO.

因為AC＝CD，所以CO⊥AD.

以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：

則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），

則，，

設(shè)為平面PCD的法向量，

則由，得，則．

設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則=；

(2) 假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），

由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，

則有，可得M（0，1﹣λ，λ），

∴，

∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，

∴，即，解得．

綜上，存在點M，即當時，M點即為所求．