Question

【題目】函數(shù)f（x）=lnx+ +ax（a∈R），g（x）=ex+ ．
（1）討論f（x）的極值點的個數(shù)；
（2）若對于x＞0，總有f（x）≤g（x）．（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：對于x＞0，不等式ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f'（x）=x+ +a= ，

當a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2時，f'（x）≥0恒成立，無極值點；

當a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2時，

①a＜﹣2時，設(shè)方程x2+ax+1=0兩個不同實根為x1，x2，不妨設(shè)x1＜x1，x2，

則x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2，

∴x1，x2是函數(shù)的兩個極值點．

②a＞2時，設(shè)方程x2+ax+1=0兩個不同實根為x1，x2，

則x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0，

故函數(shù)沒有極值點．

綜上，當a＜﹣2時，函數(shù)有兩個極值點；

當a≥﹣2時，函數(shù)沒有極值點

（2）解：（i）f（x）≤g（x）等價于ex﹣lnx+x2≥ax，

由x＞0，即a≤ 對于x＞0恒成立，

設(shè)φ（x）= （x＞0），

φ′（x）= ，

∵x＞0，∴x∈（0，1）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，

x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，

∴φ（x）≥φ（1）=e+1，

∴a≤e+1．

（ii）（ ii）由（ i）知，當a=e+1時有f（x）≤g（x），

即：ex+ x2≥lnx+ x2+（e+1）x，

等價于ex+x2﹣（e+1）x≥lnx…①當且僅當x=1時取等號，

以下證明：lnx+ ≥2，

設(shè)θ（x）=lnx+ ，則θ′（x）= ﹣ = ，

∴當x∈（0，e）時θ'（x）＜0，θ（x）單調(diào)遞減，

x∈（e，+∞）時θ'（x）＞0，θ（x）單調(diào)遞增，

∴θ（x）≥θ（e）=2，

∴l(xiāng)nx+ ≥2，②當且僅當x=e時取等號；

由于①②等號不同時成立，故有ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2

【解析】（1）求f（x）的導數(shù)f′（x），根據(jù)x＞0求出f'（x）的值域，討論a的值得出f′（x）的正負情況，判斷f（x）的單調(diào)性和極值點問題；（2）（i）f（x）≤g（x）等價于ex﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，利用分離常數(shù)法求出a的表達式，再構(gòu)造函數(shù)求最值即可；（ii）由（ i）結(jié)論，a=e+1時有f（x）≤g（x），得出不等式，再進行等價轉(zhuǎn)化，證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．