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        1. 【題目】函數(shù)f(x)=lnx+ +ax(a∈R),g(x)=ex+
          (1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
          (2)若對(duì)于x>0,總有f(x)≤g(x).(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(ii)求證:對(duì)于x>0,不等式ex+x2﹣(e+1)x+ >2成立.

          【答案】
          (1)解:由題意得f'(x)=x+ +a=

          當(dāng)a2﹣4≤0,即﹣2≤a≤2時(shí),f'(x)≥0恒成立,無(wú)極值點(diǎn);

          當(dāng)a2﹣4>0,即a<﹣2或a>2時(shí),

          ①a<﹣2時(shí),設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1,x2,不妨設(shè)x1<x1,x2,

          則x1+x2=﹣a>0,x1x2=1>0,故0<x1<x2,

          ∴x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

          ②a>2時(shí),設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1,x2,

          則x1+x2=﹣a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,

          故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

          綜上,當(dāng)a<﹣2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);

          當(dāng)a≥﹣2時(shí),函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)


          (2)解:(i)f(x)≤g(x)等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax,

          由x>0,即a≤ 對(duì)于x>0恒成立,

          設(shè)φ(x)= (x>0),

          φ′(x)= ,

          ∵x>0,∴x∈(0,1)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減,

          x∈(1,+∞)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,

          ∴φ(x)≥φ(1)=e+1,

          ∴a≤e+1.

          (ii)( ii)由( i)知,當(dāng)a=e+1時(shí)有f(x)≤g(x),

          即:ex+ x2≥lnx+ x2+(e+1)x,

          等價(jià)于ex+x2﹣(e+1)x≥lnx…①當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),

          以下證明:lnx+ ≥2,

          設(shè)θ(x)=lnx+ ,則θ′(x)= =

          ∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí)θ'(x)<0,θ(x)單調(diào)遞減,

          x∈(e,+∞)時(shí)θ'(x)>0,θ(x)單調(diào)遞增,

          ∴θ(x)≥θ(e)=2,

          ∴l(xiāng)nx+ ≥2,②當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào);

          由于①②等號(hào)不同時(shí)成立,故有ex+x2﹣(e+1)x+ >2


          【解析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)x>0求出f'(x)的值域,討論a的值得出f′(x)的正負(fù)情況,判斷f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn)問(wèn)題;(2)(i)f(x)≤g(x)等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax,由x>0,利用分離常數(shù)法求出a的表達(dá)式,再構(gòu)造函數(shù)求最值即可;(ii)由( i)結(jié)論,a=e+1時(shí)有f(x)≤g(x),得出不等式,再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可.
          【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】給出下面四個(gè)推理:

          ①由“若是實(shí)數(shù),則”推廣到復(fù)數(shù)中,則有“若是復(fù)數(shù),則”;

          ②由“在半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”類比推出“在半徑為R的球內(nèi)接長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大”;

          ③以半徑R為自變量,由“圓面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是圓的周長(zhǎng)函數(shù)”類比推出“球體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球的表面積函數(shù)”;

          ④由“直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”類比推出“極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為”.

          其中,推理得到的結(jié)論是正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)

          A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=t,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz

          (1)若t=1,求異面直線AC1A1B所成角的大;

          (2)若t=5,求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值;

          (3)若二面角A1—BD—C的大小為120°,求實(shí)數(shù)t的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300):

          空氣質(zhì)量指數(shù)

          (0,50]

          (50,100]

          (100,150]

          (150,200]

          (200,250]

          (250,300]

          空氣質(zhì)量等級(jí)

          1級(jí)優(yōu)

          2級(jí)良

          3級(jí)輕度污染

          4級(jí)中度污染

          5級(jí)重度污染

          6級(jí)嚴(yán)重污染

          該社團(tuán)將該校區(qū)在2016年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.

          (Ⅰ)請(qǐng)估算2017年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);
          (Ⅱ)該校2017年6月7、8、9日將作為高考考場(chǎng),若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用10000元,出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用20000元,記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知函數(shù),那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )

          A. 的極小值點(diǎn),則在區(qū)間上單調(diào)遞減

          B. 函數(shù)的圖像可以是中心對(duì)稱圖形

          C. ,使

          D. 的極值點(diǎn),則

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,

          已知圓和圓.

          1)若直線過(guò)點(diǎn),且被圓截得的弦長(zhǎng)為,

          求直線的方程;(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:

          存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線,

          它們分別與圓和圓相交,且直線被圓

          截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,.

          (1)求直線與平面所成角的正弦值.

          (2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】某商場(chǎng)為了解該商場(chǎng)某商品近5年日銷售量(單位:件),隨機(jī)抽取近5年50天的銷售量,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

          日銷售量

          100

          150

          天數(shù)

          30

          20

          頻率

          若將上表中頻率視為概率,且每天的銷售量相互獨(dú)立.則在這5年中:

          (1)求5天中恰好有3天銷售量為150件的概率(用分式表示);

          (2)已知每件該商品的利潤(rùn)為20元,用X表示該商品某兩天銷售的利潤(rùn)和(單位: 元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足acosC=b﹣ c. (Ⅰ)求角A的大小;
          (Ⅱ)若B= ,AC=4,求BC邊上的中線AM的長(zhǎng).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案