Question

【題目】已知點(diǎn)P為函數(shù)f（x）=lnx的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓[x﹣（e+ ）]2+y2=1任意一點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由圓的對(duì)稱(chēng)性可得只需考慮圓心Q（e+ ，0） 到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．
設(shè)f（x）圖象上一點(diǎn)（m，lnm），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）= ，
即有切線的斜率為k= ，
可得 =﹣m，
即有l(wèi)nm+m2﹣（e+ ）m=0，
由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，可得g′（x）= +2x﹣（e+ ），
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
又g（e）=lne+e2﹣（e+ ）e=0，
可得x=e處點(diǎn)（e，1）到點(diǎn)Q的距離最小，且為 ，
則線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為為 ﹣1，即 ．
故選：C．
由圓的對(duì)稱(chēng)性可得只需考慮圓心Q（e+ ，0）到函數(shù)f（x）=lnx圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．設(shè)f（x）圖象上一點(diǎn)P（m，lnm），求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得lnm+m2﹣（e+ ）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得零點(diǎn)e，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求值．