Question

△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．向量

m

=（cosA，cosB）與向量

n

=（a，2c-b）共線．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}中，a₁cosA=1，a₄=16，記b_n=log₂a_n•log₂a_n+1，求{

1

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量平行得出cosA（2c-b）=acosB，然后根據(jù)兩角和差的正弦公式和A為三角形內(nèi)角這個(gè)條件得到A．
（Ⅱ）由題意可得等比數(shù)列的公比q，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；根據(jù)b_n=log₂a_n可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，裂項(xiàng)法求{

1

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（cosA，cosB）與向量

n

=（a，2c-b）共線，
∴cosA（2c-b）=acosB，
∴cosA（2sinC-sinB）=sinAcosB，
∴2cosAsinC=sin（A+B），
∴2cosAsinC=sinC，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a₁cosA=1，
∴a₁=2，
∵a₄=16，
∴公比q=2，
∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n•log₂a_n+1=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查向量的平行關(guān)系的應(yīng)用、兩角差正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和等知識(shí)，考查計(jì)算能力．