Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x+3
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=

3

，f（A）=4，求b+c的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式對函數(shù)解析式整理后，利用三角函數(shù)周期公式求得最小周期，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（A）的值，求得A，進(jìn)而利用正弦定理分別表示出b和c，然后利用兩角和公式整理后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得b+c的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3                                     
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π                             
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
（Ⅱ）由f（A）=4得2sin（2A+

π

6

）+3=4，sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

，
∴B+C=

2π

3

又∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(

π

3

+B)]=2

3

sin(B+

π

6

)≤2

3

∴當(dāng)B=

π

3

時，b+c最大為2

3

點評：本題主要考查兩角和公式的運用，正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)等知識點．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用．