Question

設(shè)一元二次方程kx²+2x+2k+1=0的兩根為x₁、x₂，求在下列情況下，實(shí)數(shù)k的取值范圍
（1）方程有負(fù)數(shù)根；
（2）方程有兩個(gè)不等且都小于2的實(shí)數(shù)根；
（3）方程有兩個(gè)根，一個(gè)大于3，一個(gè)小于2；
（4）方程有兩個(gè)位于區(qū)間（2，3）上的根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，當(dāng)k=0時(shí)，檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件．若方程有一正根和一個(gè)負(fù)數(shù)根，求得k的范圍；若方程有2個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，解得k的范圍．當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，檢驗(yàn)不滿(mǎn)足條件，綜上可得，k的范圍．
（2）令f（x）=kx²+2x+2k+1，由條件利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，

△=4-4k(2k+1)＞0 - 1 k ＜2 f(2)=4k+4+2k+1＞0

，解不等式組求得k的范圍．
（3）分二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向下和開(kāi)口向上兩種情況，分別利用條件、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求得k的范圍，再取并集，即得要求的k的范圍．
（4）分二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向上和開(kāi)口向下兩種情況，分別利用條件、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求得k的范圍，再取并集，即得要求的k的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得，當(dāng)k=0時(shí)，方程即2x+1=0，解得 x=-

1

2

，滿(mǎn)足條件．
若方程有一正根和一個(gè)負(fù)數(shù)根，則

k≠0 △=4-4k(2k+1)＞0 x1•x2= 2k+1 k ＜0

，求得-

1

2

＜k＜0．
若方程有2個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則

k≠0 △=4-4k(2k+1)＞0 x1+x2=- 2 k ＞0 x1•x2= 2k+1 k ＞0

，解得-1＜k＜-

1

2

．
當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，方程的根為x=0，或x=4，不滿(mǎn)足條件．
綜上可得，k的范圍是（-1，-

1

2

）∪（-

1

2

，0]．
（2）令f（x）=kx²+2x+2k+1，則二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-

1

k

．
由題意可得，

△=4-4k(2k+1)＞0 - 1 k ＜2 f(2)=4k+4+2k+1＞0

，解得-

5

6

＜k＜-

1

2

，或 0＜k＜

1

2

，
即m的范圍是（-

5

6

，-

1

2

）∪（ 0，

1

2

）．
（3）由題意可得①

k＜0 △=4-4k(2k+1)＞0 f(2)=4k+4+2k+1＞0 f(3)=9k+6+2k+1＞0

，或 ②

k＞0 △=4-4k(2k+1)＞0 f(2)=4k+4+2k+1＜0 f(3)=9k+6+2k+1＜0

．
解①得-

7

11

＜k＜0，解②求得 k∈∅，故要求的k的范圍是（-

7

11

，0）．
（4）由題意可得，③

k＞0 2＜- 1 k ＜3 △=4-4k(2k+1)≥0 f(2)=4k+4+2k+1＞0 f(3)=9k+6+2k+1＞0

，④

k＜0 △=4-4k(2k+1)＞0 2＜- 1 k ＜3 f(2)=4k+4+2k+1＜0 f(3)=9+6+2k+1＜0

．
解③可得k∈∅，解④可得k∈∅，故方程不可能有兩個(gè)位于區(qū)間（2，3）上的根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．