Question

【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)滿(mǎn)足.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，過(guò)作與垂直的直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)，由題意可得，則，點(diǎn)在橢圓上，整理計(jì)算可得軌跡方程為.

(Ⅱ)分類(lèi)討論：當(dāng)與軸重合時(shí)， .當(dāng)與軸垂直時(shí)， .

當(dāng)與軸不垂直也不重合時(shí)，可設(shè)的方程為， ， ， 聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程有，結(jié)合弦長(zhǎng)公式有，

把直線(xiàn)與曲線(xiàn)橢圓聯(lián)立計(jì)算可得.則.

據(jù)此，結(jié)論得證.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，易知， ，

又因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，即.

（Ⅱ）當(dāng)與軸重合時(shí)， ， ，

∴.

當(dāng)與軸垂直時(shí)， ， ，

∴.

當(dāng)與軸不垂直也不重合時(shí)，可設(shè)的方程為

此時(shí)設(shè)， ， ，

把直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立，

得，

可得

∴，

把直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立，

同理可得.

∴.