Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中， ，動點(diǎn)滿足：以為直徑的圓與軸相切.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，當(dāng)與的面積之和取得最小值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)，圓心，由圓與軸相切于點(diǎn)，得| ，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式整理可得點(diǎn)P的軌跡方程為 ；
（2）（ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為 ，可得 ．

（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為 聯(lián)立直線方程與拋物線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

再由 ，結(jié)合等號成立的條件求得的值，進(jìn)一步得到值，則與的面積之和取得最小值時(shí)，直線的方程可求

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)，圓心，

圓與軸相切于點(diǎn)，則，

所以，

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，

所以，整理得： .

所以點(diǎn)的軌跡方程為： .

（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為： ，

易得.

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為： ， ， ，

由消去并整理得： ，

所以， ，

所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，

所以， 或， ，

所以，解得： ，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)兩個三角形的面積和最小時(shí)，

直線的方程為： .