Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式；

（3）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，計(jì)算判斷其與的關(guān)系； （2）令，故，換元得，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分類討論求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意， ，

所以，函數(shù)是偶函數(shù)．

（2），

令，因?yàn)?/span>，所以，故，

原函數(shù)可化為， ，

圖像的對(duì)稱軸為直線，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)?/span>．

綜上，

（3）由，得，　

當(dāng)時(shí)， ，所以，所以，

所以， 恒成立．

令，則， ，

由，得，所以， ．

所以， ，即的取值范圍為．