Question

【題目】如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱， 是棱的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖(2)．

(Ⅰ)求正三棱柱的體積；

(Ⅱ)證明： ；

(Ⅲ)圖（1）中垂直于平面的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：(1)由圖可得高為3，底面為正三角形，邊長為2，根據(jù)正三棱柱的體積求體積(2) 設，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果（3）因為平面的垂線為AD，所以垂面為平面、平面、平面

試題解析：解：(Ⅰ)依題意，在正三棱柱中， ， ，從而

所以正三棱柱的體積 ．

(Ⅱ)連接，設，連接

因為是正三棱柱的側(cè)面，所以是矩形， 是的中點

所以是的中位線，

因為， ， 所以 ．

(Ⅲ)平面、平面、平面 ．

點睛:垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.