Question

【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米， 為3米，上部是個(gè)半圓，固定點(diǎn)為的中點(diǎn). 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計(jì)），且滑動過程中始終保持和平行.當(dāng)位于下方和上方時(shí)，通風(fēng)窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風(fēng)）.

（1）設(shè)與之間的距離為（且）米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；

（2）當(dāng)與之間的距離為多少米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值？

Answer 1

【答案】（1），（2）當(dāng)與之間的距離為米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值.

【解析】試題分析：（1）三角形的面積與x的關(guān)系是分段函數(shù)，所以分類討論即可．

（2）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當(dāng)中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實(shí)際問題的建設(shè)方案．

試題解析：

解：（1）當(dāng)時(shí)，過作于（如下圖），

則， ， ，

由，得，

∴，

∴ ；

當(dāng)時(shí)，過作于，連接（如下圖），

則， ，

∴，

∴，

綜上： ；

（2）當(dāng)時(shí)， 在上遞減，

∴；

2°當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，

∴，此時(shí)，∴的最大值為，

答：當(dāng)與之間的距離為米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值.