Question

【題目】

已知， ，函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)， 時(shí)，解關(guān)于的不等式；

（Ⅱ）若函數(shù)的最大值為2，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得.零點(diǎn)分段求解不等式可得不等式的解集為；

(Ⅱ)由絕對(duì)值三角不等式可得，則.由均值不等式的結(jié)論可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

證法二：由題意可得，零點(diǎn)分段可得，結(jié)合函數(shù)圖像可得.由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， .

不等式為.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁綖?/span>，所以不等式成立，

此時(shí)符合；符合要求的不等式的解集為；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁綖?/span>，所以，

此時(shí)，符合不等式的解集為；

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴坏仁綖?/span>不成立，解集為空集；

綜上所述，不等式的解集為.

（Ⅱ）由絕對(duì)值三角不等式可得

， ，

∴.

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

另解：（Ⅱ）因?yàn)?/span>， ，所以，

所以函數(shù)

，

所以函數(shù)的圖象是左右兩條平行于軸的射線和中間連結(jié)成的線段，

所以函數(shù)的最大值等于，所以.

∵，

∴.

或者 ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“等號(hào)”成立.