Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求證：

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）計(jì)算 ，令，進(jìn)而由可得在上單調(diào)遞增，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得存在，使得，（*），即得，從而得，從而得證；

（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解，又等價(jià)于有兩個(gè)不同的解，令，求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值即可得解.

（1）證明：的定義域?yàn)?/span>，，

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

，，

故存在，使得，（*）

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以對，均有，①

由（*）式可得，代入①式得，

又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，但，故，

故．

（2）解：由題得，

于是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解，

因?yàn)?/span>，所以又等價(jià)于有兩個(gè)不同的解．

令，則，

再令，則，

所以在上單調(diào)遞增．

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

于是當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即 是在上的最小值，

于是，若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)；

若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，由于，，

，

故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

同理，當(dāng)時(shí)，由于，，

，

故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，共有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).