Question

【題目】已知.

（Ⅰ）若，求的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）不等式恒成立，等價于當時， 恒成立，只需 ，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出 的最大值為，所以， .

試題解析：(Ⅰ) 依題意，

若時，，

由得，又，

解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

(Ⅱ)依題意得即，

∴，∵，∴ ，∴，

∴.

設， ，

令，解得，

當時，，在單調(diào)遞增；

當時，，在單調(diào)遞減；

∴=，

∴ 即．

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值、不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題（2）是利用方法 ① 求得的取值范圍.