Question

如圖，四棱錐中，，，側面為等邊三角形，．

（Ⅰ）證明：平面;
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

 （Ⅰ）見解析（Ⅱ）

本試題主要是考查了線面垂直的問題和線面角的求解的綜合運用。
（1）要證明線面垂直關鍵是證明線線垂直，BA垂直于平面ASD。
（2）利用等價轉化思想，通過求解點到面的距離得到線面角的求解。
解：

（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，
連結SE，則
又SD=1，故，
所以為直角。     …………3分
由，
得平面SDE，所以。
SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。
所以平面SAB。   …………6分
（II）由平面SDE知，
平面平面SED。
作垂足為F，則SF平面ABCD，

作，垂足為G，則FG=DC=1。
連結SG，則，
又，
故平面SFG，平面SBC平面SFG。
作，H為垂足，則平面SBC。
，即F到平面SBC的距離為 …………………………10分
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離也有
設AB與平面SBC所成的角為，
則�！�……………………12分