【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)的圖像剛好與
軸相切時(shí),設(shè)函數(shù)
,其中
,求證:
存在極小值且該極小值小于
.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),
的單調(diào)增區(qū)間是
,當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間是
;(2)證明見解析
【解析】
(1)先求導(dǎo),通過(guò)導(dǎo)論參數(shù)和
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)值大于零,求出對(duì)應(yīng)增區(qū)間即可
(2)當(dāng)時(shí),
,由(1)知切點(diǎn)即為
,可求出
,求出
,先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)進(jìn)一步判斷函數(shù)增減性,確定極值點(diǎn),求證在該極值點(diǎn)處函數(shù)值小于
即可
解:(1),
,
當(dāng)時(shí),
,
的單調(diào)增區(qū)間是
;
當(dāng)時(shí),由
可得
,
綜上所述,當(dāng)時(shí),
的單調(diào)增區(qū)間是
,當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間是
.
(2)易知切點(diǎn)為,
由得
,
,
所以
設(shè),
則在
上是增函數(shù),
,
當(dāng)時(shí),
,
所以在區(qū)間
內(nèi)存在唯一零點(diǎn)
,
即.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
,
所以存在極小值
.
又,則
,故
,
故存在極小值且該極小值小于
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
,
,
,
,
為線段
的中點(diǎn),
是線段
上一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求證:
面
;
(2)當(dāng)的面積最小時(shí),求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若k≠0,試討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)已知f(x)在(﹣∞,0]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)
,若存在區(qū)間
,同時(shí)滿足下列條件:①
在
上是單調(diào)的;②當(dāng)定義域是
時(shí),
的值域也是
,則稱
為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,
平面
,且
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
.
(1)若是線段
的中點(diǎn),證明:直線
面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)人坐在有八個(gè)座位的一排上,若每人的左右兩邊都要有空位,則不同坐法的種數(shù)有多少種?
(2)有個(gè)人并排站成一排,如果甲必須在乙的右邊,則不同的排法有多少種?
(3)現(xiàn)有個(gè)保送上大學(xué)的名額,分配給
所學(xué)校,每校至少有一個(gè)名額,問(wèn):名額分配的方法共有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在
處的切線平行于
軸,求
的值和
的極值;
(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線
的三條切線,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形中,
、
分別是
、
上的點(diǎn),
,
,
是
的中點(diǎn),現(xiàn)沿著
翻折,使平面
平面
.
(Ⅰ)為
的中點(diǎn),求證:
平面
.
(Ⅱ)求異面直線與
所成角的大小.
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