Question

【題目】（1）人坐在有八個座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數有多少種？

（2）有個人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有多少種？

（3）現有個保送上大學的名額，分配給所學校，每校至少有一個名額，問：名額分配的方法共有多少種？

Answer 1

【答案】解：(1)由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有A43＝24(種)．

(2)∵總的排法數為A55＝120(種)，

∴甲在乙的右邊的排法數為A55＝60(種)．

(3)法一：每個學校至少一個名額，則分去7個，剩余3個名額分到7所學校的方法種數就是要求的分配方法種數．

分類：若3個名額分到一所學校有7種方法；

若分配到2所學校有C72×2＝42(種)；

若分配到3所學校有C73＝35(種)．

∴共有7＋42＋35＝84(種)方法．

法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當于用6塊檔板插在9個間隔中，共有C96＝84種不同方法．

所以名額分配的方法共有84種．

【解析】

試題（1）由題意知有個座位都是空的，我們把個人看成是坐在座位上的人，往個空座的空當插，即可計算結果；（2）可采用間接法，利用人的全排列，則甲在乙的右邊的排法數為其中的，即可計算結果；（3）可采用相同元素的隔板法，即可計算結果．

試題解析： （1）由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，

往5個空座的空當插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有＝24(種)．

（2）∵總的排法數為＝120(種)，

∴甲在乙的右邊的排法數為＝60(種)．

（3）方法一：每個學校至少一個名額，

則分去7個，剩余3個名額分到7所學校的方法種數就是要求的分配方法種數．

分類：若3個名額分到一所學校有7種方法；

若分配到2所學校有×2＝42(種)；

若分配到3所學校有＝35(種)．

∴共有7＋42＋35＝84(種)方法．

方法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當于用6塊擋板插在9個間隔中，

共有＝84(種)不同方法．

所以名額分配的方法共有84種．