Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線平行于軸，求的值和的極值；

（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），2，-2；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在x=1處的切線平行于x軸，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段，列表得到單調(diào)區(qū)間，則f（x）的極值可求；（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)（t，t3+at），求導(dǎo)數(shù)，利用直線方程點(diǎn)斜式得到切線方程，代入A的坐標(biāo)，化為關(guān)于t的方程，再利用導(dǎo)數(shù)求出關(guān)于t的函數(shù)的極值，由極大值大于0，且極小值小于0聯(lián)立不等式組求得a的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）,

∵在處的切線平行于軸, ∴,即．

∴．令,得．

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴,．

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率為,

∴切線方程為, ∵點(diǎn)在切線上,

∴, 即． （*）

于是, 若過(guò)點(diǎn)A可作曲線的三條切線, 則方程（*）有三個(gè)相異的實(shí)根根．

記, 則．

當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),

當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),

當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),

∴．

要使方程（*）有三個(gè)相異實(shí)根, 則即．