Question

【題目】已知函數(shù)，x∈R．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上是增函數(shù)；

（3）若對任意的x∈R，任意的 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是偶函數(shù)，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）由奇偶性定義判斷證明；

（2）由單調(diào)性定義證明；

（3）設(shè)，換元后求出的最大值，由（2）求出有最小值，然后解不等式可得k的范圍．

（1）是偶函數(shù)．證明如下：

函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，

∵ ，

∴ 是偶函數(shù)．

（2）設(shè)，則，

由，知，，于是，

∴，

∴ ，即，

∴ 在上是增函數(shù)．

（3）設(shè)，則

，

令，易知，則，

又∵ 是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴ ，

∴ 由題意只需4+k≤6，解得k≤2，即k的取值范圍為．