Question

【題目】如圖，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求證：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直線AD與平面DCE所成角的正弦值．．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AB=2AD，∠DAB=60°，∴AD⊥DB，

又BE⊥AD，且BD∩BE=B，

∴AD⊥面BDE，又AD面ADE，∴面ADE⊥面 BDE；

（Ⅱ）∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥面ABCD，

∴點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，

設AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，

由VA﹣DCE=VE﹣ADC得： ，可解得 ，

而AD=1，則 ，

故直線AD與平面DCE所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）AB=2AD，∠DAB=60°，可得AD⊥DB，再利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．（Ⅱ）由已知可得BE⊥面ABCD，點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，設AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，利用VA﹣DCE=VE﹣ADC，即可得出．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．