Question

如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面⊥底面,側(cè)棱與底面成60°的角,.底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為點(diǎn),是線段上一點(diǎn),且.
 
(1)求證://側(cè)面;
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值;

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；(2).

解析試題分析：解法1：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn),根據(jù)，,利用相似三角形的比例關(guān)系，即可證得直線與直線平行，再運(yùn)用線面平行的判定定理，即可證得結(jié)論；
解法2：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出側(cè)面的法向量和向量，判斷法向量和向量
垂直，即可證得結(jié)論；
（2）求出兩個(gè)半平面的法向量，利用向量的數(shù)量積，求出法向量的夾角的余弦值，再利用法向量的夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系，即可求得答案；
試題解析：解法1:(1)延長(zhǎng)B₁E交BC于點(diǎn)F,
∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC,
從而點(diǎn)F為BC的中點(diǎn).
∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點(diǎn)共線.且,
又GE側(cè)面AA₁B₁B,∴GE//側(cè)面AA₁B₁B.    5分
(2)∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC,側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角,∴∠A₁AB=60°,
又AA₁=AB=2,取AB的中點(diǎn)O,則AO⊥底面ABC.
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—如圖,

則,,,,,.
∵G為△ABC的重心,∴.,∴,
∴.又GE側(cè)面AA₁B₁B,∴GE//側(cè)面AA₁B₁B.    6分
(2)設(shè)平面B₁GE的法向量為,則由得
可取又底面ABC的一個(gè)法向量為
設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則.
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的余弦值為.    12分
考點(diǎn)：1.線與面平行的判定；2.利用空間向量求二面角.