Question

【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中都是實數(shù).定義映射的模為:在的條件下 的最大值記做.若存在非零向量，及實數(shù)使得，則稱為的一個特征值.

（1）若求；

（2）如果,計算的特征值，并求相應(yīng)的；

（3）試找出一個映射，滿足以下兩個條件:①有唯一特征值，②.(不需證明)

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

(1)根據(jù)題目中的定義,在的條件下的最大值為,分別用表達與再分析即可.

(2) 由求得后再聯(lián)立方程求中的系數(shù).

(3)根據(jù)題意設(shè),列出,再分析滿足的關(guān)系即可.

(1)由于此時,

又因為是在的條件下 (時取最大值),所以此時有；

(2)由,可得： ,

兩式相乘可得：,從而．

當時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,

所以此時方程有無窮多個解,為,其中．

當時,同理可得相應(yīng)的,其中．

(3)由方程組,可得從而向量與平行,從而有應(yīng)滿足：；

當時,f有唯一的特征值,且,

故．