Question

【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，.

（1）若，請寫出的值；

（2）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件；

（3）若對任意，有，且，請問：是否存在，使得對于任意不小于的正整數(shù)，有成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析.

【解析】

（1）計(jì)算得到，代入計(jì)算得到答案.

（2）分別證明充分性和必要性得到答案.

（3）反證法，假設(shè)不成立，則或 得到，

，通過累加得到，與題設(shè)矛盾，得證.

（1）（1），則，

（2）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為

則，為定值，故數(shù)列是等差數(shù)列；

數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則

和，和至少一組相等，不妨設(shè)只有

則故

故，為等差數(shù)列

同理可得只有和都相等的情況，故數(shù)列是等差數(shù)列

綜上所述：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件

（3）存在

假設(shè)不存在，則或，對任意，一定存在使得符號相反.

所以數(shù)列中存在，其中

且；

因?yàn)?/span>，即

注意到：，有且僅有一個等號成立.

所以必有

所以，所以

因?yàn)?/span>，所以，所以

；；…

累加可得；

故

這與矛盾，假設(shè)不成立

故存在，使得對于任意不小于的正整數(shù)，有成立