Question

【題目】設(shè)數(shù)列為首項(xiàng)是4，公差為1的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且。

（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式和；

（2）問(wèn)是否存在使成立？若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）對(duì)任意的正數(shù),不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得的通項(xiàng)公式，利用求得的通項(xiàng)公式.

（2）假設(shè)存在符合條件的，對(duì)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合，判斷出符合條件的正整數(shù)不存在.

（3）將原不等式分離常數(shù)，利用數(shù)列的單調(diào)性求得的取值范圍.

（1）依題意數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，所以.由于為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，故.

（2）假設(shè)符合條件的存在.由（1）得.

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，為正偶數(shù)，由得，解得，不符合題意.

當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，為正奇數(shù)，由得，解得，不符合題意.

綜上所述，符合條件的正整數(shù)不存在.

（3）由（1）知，代入得.

設(shè)，則，即，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為.所以的取值范圍是.