Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+

x-1

x+1

，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若a=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-f（1）=f′（1）（x-1），代入計(jì)算即可．
（Ⅱ）先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，即f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，考慮函數(shù)g（x）=ax²+（2a+2）x+a，分成a≥0，-

1

2

＜a＜0，a≤-

1

2

三種情況分別討論即可．

解答： 解：f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

2

(x+1)2

，f′（1）=

1

2

，f（1）=0
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=

1

2

（x-1）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a≥0時(shí)，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，則

a

x

+

2

(x+1)2

＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，則

a

x

+

2

(x+1)2

＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考慮函數(shù)g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△=8a+4=8(a+

1

2

)，對(duì)稱軸方程x=-

a+1

a

．
①當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，此時(shí)，對(duì)稱軸方程x=-

a+1

a

＞0，
∴g（x）=0的兩根均大于零，計(jì)算得
當(dāng)

-(a+1)+ 2a+1

a

＜x＜

-(a+1)- 2a+1

a

時(shí)，g（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜

-(a+1)+ 2a+1

a

或x＞

-(a+1)- 2a+1

a

時(shí)，g（x）＜0．
綜合（1）（2）可知，
當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，f（x）在（

-(a+1)+ 2a+1

a

，

-(a+1)- 2a+1

a

）上單調(diào)遞增，在（0，

-(a+1)+ 2a+1

a

），（

-(a+1)- 2a+1

a

，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是高考中極易考察到的知識(shí)模塊，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性是本題檢查的知識(shí)點(diǎn)，特別是單調(diào)性的處理中，分類討論是非常關(guān)鍵和必要的，分類討論也是高考中經(jīng)�？疾榈乃枷敕椒ǎ�