Question

若a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=

ab

．
（Ⅰ）求a³+b³的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由條件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a³+b³的最小值．
（Ⅱ）根據(jù) ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=

ab

，
∴

ab

=

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，∴ab≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

時(shí)取等號．
∵a³+b³ ≥2

(ab)3

≥2

23

=4

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

時(shí)取等號，
∴a³+b³的最小值為4

2

．
（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2

2a•3b

=2

6ab

≥4

3

＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，要注意檢驗(yàn)等號成立條件是否具備，屬于基礎(chǔ)題．