Question

設(shè)M?N^*，正項數(shù)列{a_n}的前項積為T_n，且?k∈M，當(dāng)n＞k時，

Tn+kTn-k

=T_nT_k都成立．
（1）若M={1}，a₁=

3

，a₂=3

3

，求數(shù)列{a_n}的前n項和；
（2）若M={3，4}，a₁=

2

，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件M={1}，a₁=

3

，a₂=3

3

，求出數(shù)列數(shù)列的公比，即可求數(shù)列{a_n}的前n項和；
（2）根據(jù)條件M={3，4}，a₁=

2

，判定數(shù)列為等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，因為M={1}，所以

Tn+1Tn-1

=T_nT₁，可得a_n+1=a_na₁，故

an+1

an

=a₁=3（n≥2）．
又a₁=

3

，a₂=3

3

，則{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，
故{a_n}的前n項和為

3 (1-3n)

1-3

=

3

2

•3ⁿ-

3

2

．
（2）當(dāng)n＞k時，因為

Tn+kTn-k

=T_nT_k，所以

Tn+1+kTn+1-k

=T_n+1T_k，
所以

Tn+kTn-k

Tn+1+kTn+1-k

=

TnTk

Tn+1Tk

，即

an+1+kan+1-k

=a_n+1，
因為M={3，4}，所以取k=3，當(dāng)n＞3時，有a_n+4a_n-2=a_n+1²；
取k=4，當(dāng)n＞4時，有a_n+5a_n-3=a_n+1²．
由a_n+5a_n-3=a_n+1² 知，
數(shù)列a₂，a₆，a₁₀，a₁₄，a₁₈，a₂₂，…，a_4n-2，…，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q．…①
由a_n+4a_n-2=a_n+1 知，
數(shù)列a₂，a₅，a₈，a₁₁，a₁₄，a₁₇，…，a_3n-1，…，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q₁，…②
數(shù)列a₃，a₆，a₉，a₁₂，a₁₅，a₁₈，…，a_3n，…，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q₂，…③
數(shù)列a₄，a₇，a₁₀，a₁₃，a₁₆，a₁₉，a₂₂，…，a_3n+1，…，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q₃，…④
由①②得，

a14

a2

=q³，且

a14

a2

=q₁⁴，所以q₁=q 

3

4

；
由①③得，

a18

a6

=q³，且

a18

a6

=q₂⁴，所以q₂=q 

3

4

；
由①④得，

a22

a10

=q³，且

a22

a10

=q₃⁴，所以q₃=q 

3

4

；
所以q₁=q₂=q₃=q 

3

4

．
由①③得，a₆=a₂q，a₆=a₃q₂，所以

a3

a2

=

q

q2

=q 

1

4

，
由①④得，a₁₀=a₂q²，a₁₀=a₄q₃²，所以

a4

a2

=

q2

q 2 3

=q

1

2

，
所以a₂，a₃，a₄是公比為q 

1

4

的等比數(shù)列，所以{a_n}（n≥2）是公比為q 

1

4

的等比數(shù)列．
因為當(dāng)n=4，k=3時，T₇T₁=T₄²T₃²；
當(dāng)n=5，k=4時，T₉T₁=T₅²T₄²，
所以（q 

1

4

）⁷=2a₂⁴，且（q 

1

4

）¹⁰=2a₂⁶，所以q 

1

4

=2，a₂=2

2

．
又a₁=

2

，所以{a_n}（n∈N*）是公比為q 

1

4

的等比數(shù)列．
故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1•

2

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．綜合性較強，難度較大．