Question

若

π

4

＜α＜

3π

4

，0＜β＜

π

4

且sin（α+

π

4

）=

3

5

，cos（

π

4

+β）=

5

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，根據(jù)sin（α+

π

4

）=

3

5

，cos（

π

4

+β）=

5

13

，求解cos（α+

π

4

），sin（

π

4

+β），然后，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值．

解答： 解：∵

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴

π

2

＜α+

π

4

＜π，
∴cos(α+

π

4

)=-

1-sin2(α+ π 4 )

=-

4

5

，
又∵0＜β＜

π

4

，
∴

π

4

＜β+

π

4

＜

π

2

，
∴sin(β+

π

4

)=

1-cos2(α+ π 4 )

=

12

13

，
又∵-sin(α+β)=cos(α+β+

π

2

)=cos[(α+

π

4

)+(β+

π

4

)]
=cos(α+

π

4

)cos(β+

π

4

)-sin(α+

π

4

)sin(β+

π

4

)
=(-

4

5

)×

5

13

-

12

13

×

3

5

=-

56

65

，
∴sin（α+β）=

56

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的求值、三角恒等變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．