Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[-

π

3

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx=

3

cos2x+sin2x=2sin（2x+

π

3

）
∴函數(shù)最小正周期為T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴單調(diào)增區(qū)間為(

-5π

12

+kπ，

π

12

+kπ)
（2）∵x∈[-

π

3

， 

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
又f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈[-

3

， 2]，
f（x）的值域為[-

3

， 2]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．注重了對學(xué)生基本公式和性質(zhì)的記憶和運用的考查．