Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（x-

π

6

）+cos（x-

π

6

）．
（Ⅰ）當x∈A時，函數(shù)f（x）取得最大值或最小值，求集合A；
（Ⅱ）將集合A中x∈（0，+∞）的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為{a_n}，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）令b_n=

π 2

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式化簡f（x）=2sinx，即得結論；
（Ⅱ）歸納直接寫出通項公式即可；
（Ⅲ）利用裂項相消法求和．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2[

3

2

sin(x-

π

6

)+

1

2

cos(x-

π

6

)]…（1分）
=2sin[(x-

π

6

)+

π

6

]=2sinx…（3分）
當函數(shù)f（x）取得最值時，集合A={x|x=kπ+

π

2

，k∈Z}…（4分）
（Ⅱ）x∈（0，+∞）的所有x的值從小到大依次是

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…，

(2n-1)π

2

，…．…（6分）
即數(shù)列{a_n}的通項公式是an=

(2n-1)π

2

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 bn=

π2

an•an+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
∴Tn=2[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（11分）
=2(1-

1

2n+1

)=

4n

2n+1

…（13）

點評：本題以三角函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的恒等變形及歸納法求數(shù)列的通項公式和利用裂項相消法數(shù)列求和的能力，屬中檔題．