Question

已知函數(shù)f（x）=

.

2cos(x- π 2 ) sin2x 2 cos(x+ π 6 )

.

，（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）在△ABC中，f（A）=0，|

AC

|=m，m∈[2，4]．若對任意實數(shù)t恒有|

AB

-t

AC

|≥|

BC

|，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：二階矩陣,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）結(jié)合行列式的運算性質(zhì)和三角函數(shù)的公式，得到f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）-

3

2

．然后，結(jié)合三角函數(shù)的周期性和奇偶性的概念求解；
（2）根據(jù)任意實數(shù)t恒有|

AB

-t

AC

|≥|

BC

|，求解得到BC⊥AC，然后，求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

.

2cos(x- π 2 ) sin2x 2 cos(x+ π 6 )

.

=2cos（x-

π

2

）cos（x+

π

6

）-2sin²x
=2sinxcos（x+

π

6

）-2sin²x
=

3

sinxcosx-3sin²x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=

3

sin（2x+

π

3

）-

3

2

．
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）-

3

2

．
∴T=

2π

2

=π，
∴f（-x）≠±f（x），
∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）∵f（A）=0，
∴f（A）=

3

sin（2A+

π

3

）-

3

2

=0．
∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

．
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，
∴2A+

π

3

=

2π

3

，
∴A=

π

6

，
∵對任意實數(shù)t恒有|

AB

-t

AC

|≥|

BC

|，
∴BC⊥AC，
∵|AB|=

4sin2x

，|AC|=m，
∴BC≤|

AB

-t

AC

|，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC≤

8 3

3

．
∴△ABC面積的最大值

8 3

3

．

點評：本題重點考查了平面向量的應(yīng)用、三角恒等變換公式、二倍角公式等知識，屬于中檔題．